1+2+3+...はいくら？(等差数列とその和)
\(1+2+3+\cdots+10+\cdots\)と毎回どんどん１ずつ増えた数を足すと合計はいくらになるだろう？
とおく、すると足し算は入れ替えても値は変わらないので
と書ける。上下の式を足すと、
11は10個あるので
以上から\(1+2+3+\cdots+10=55\)
ある天才は小学生のときにこの方法を使って1から100までの和を一瞬で計算したと言われています。カール・フリードリヒ・ガウス（Johann Carl Friedrich Gauß）です。彼は数学、物理学、天文学などに大きな功績を残しました。
このように沢山の項が足されたものを「級数」と呼びます。この級数は1ずつ増えているので「等差数列」と呼ばれます。
等差数列の一般的な級数の和は以下で示すことができます。
① 最初の数・増える数・足す個数を文字で表す
足される一つ一つの数を「項」と呼びます。
最初の項を「初項」と呼び、\(a\) で表します。隣の項との差を「公差」と呼び、\(d\) で表します。足す項の個数を「項数」と呼び、\(n\) で表します。
\(n\) は1、2、3、…の整数です。最初から数えて \(n\) 番目の数を \(a_n\) と書きます。右下の数字や文字は、何番目かを示す目印です。
最初の項から2番目までは1回、3番目までは2回、\(d\) を足します。\(n\) 番目までは \(n-1\) 回足すので、式(c1.5)で表せます。
② 同じ和を逆順にも書く
最初の \(n\) 個の合計を \(S_n\) とします。1から10までで試した方法と同じように、順番を逆にした式を下に並べます。
式(c1.6)では、上下で足す二つの項を縦長の丸で囲みました。丸から下向きの矢印で、その組の和を示しています。最初の組は \(a_1+a_n\) です。次の組は、上が \(d\) だけ増え、下が \(d\) だけ減るので、\(a_2+a_{n-1}=(a_1+d)+(a_n-d)=a_1+a_n\) となります。右から2番目の組や最後の組も、足す順番が替わるだけです。このように、どの丸の中も和は \(a_1+a_n\) になります。
③ 組の合計に個数を掛けて、2で割る
\(a_1+a_n\) となる組は \(n\) 個あります。左辺も上下を足して二つ分になるので、式(c1.7)になります。
さらに、式(c1.5)の \(a_1=a\)、\(a_n=a+(n-1)d\) を代入すると、最初の数・公差・個数を使った式になります。
これが式(c1.8)の等差数列の和の公式です。1から10までなら \(a=1\)、\(d=1\)、\(n=10\) を入れて、次のように確かめられます。